Wagen-Halfpipe

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Bisherige Meßmethode

Bisher haben wir eine Ablauframpe mit Ausrollstrecke benutzt, um Rollwiderstände zu vermessen. Der Aufbau ist sehr lang. Um bei 2.8 cm Berghöhe Rollwiderstände bis herunter zu 8 Promille zu messen, braucht man 350 cm Auslaufstrecke und noch etwas Zuführungsstrecke, zusammen mindestens 4 Meter.


 Ablaufpunkt
^\
| \ Neigung i
h  \
|   \    Ebene
v    \____________Wagen______
<-l->
<--------L---------->

Beim Meßprinzip der Halfpipe wird die Auslaufstrecke durch eine Gegenrampe ersetzt. Damit wird der Aufbau wesentlich kürzer.

Man läßt den Wagen am Ablaufpunkt los und beobachtet den Umkehrpunkt, an dem er zum Stillstand kommt und zurückrollt. Die Lage diess Punktes hängt vom Rollwiderstand w ab.

Profil


Ablauf-  Umkehr-
punkt    punkt
^\        /
| \ -i   / i
h  \    / 
|   \  /  
v    \/
<-l->
<---L--->

Berechnung

Wir betrachten die potentielle Energie am Ablaufpunkt (0) E_0 = m g h_0 und am Umkehrpunkt (1) E_1 = m g h_1. Der Unterschied ist die Reibungsarbeit E_0 - E_1 = m g w L, worin L der Laufweg des Wagens ist. m und g fallen nun aus der Gleichung heraus, und wir erhalten dh = h_0 - h_1 = w L.

Kennt man die Neigung des Gleises i, kann man eine Beziehung zwischen den Höhen h_0, h_1 und L aufstellen. Bei w = 0 wäre die volle Lauflänge L = 2 l = 2 h / i. Für w > 0 läuft der Wagen aber nur bis zu einer Stelle, die um dl = 2h/i -L verkürzt liegt und um dh = h_0 - h_1 = w L tiefer. Aus der Beziehung dh / dl = i können wir auf dh = 2w/(i+w) * h_0 schließen und aus dh = h_0 - h_1 folgt h_1 = (i-w)/(i+w) h_0.

Wir bemerken dabei, daß die Profilierung des unteren Teil der Halfpipe für diese Überlegungen keine Rolle spielt. Wir setzen nur voraus, daß die Neigung i = h/l dort genau eingehalten ist, wo wir den Umkehrpunkt messen.

Seit q := (i-w)/(i+w). Läßt man den Wagen nun vom Umkehrpunkt aus der Höhe h_1 = q*h_0 zurückrollen, so wird er einen nächsten Umkehrpunkt bei der Höhe h_2 = q*h_1 = q^2 * h_0 erreichen. Und so weiter. Die Höhe am n-ten Umkehrpunkt ist h_n = h_0 * q^n . Es handelt sich um eine geometrische Folge. Die Quotienten h_{n+1} / h_n sind immer gleich q. Das läßt sich benutzen, um den Nullpunkt der Höhenskala zu kalibrieren. Sodann kann man allein aus einer Reihe von gemessenen Umkehrpunkten q bestimmen und der Rollwiderstand nach w = i * (1-q)/(1+q) berechnen.

Weiter vereinfacht sich die Messung, wenn nur geradzahlige Umkehrpunkte n = 2, 4, 6, 8, ... beobachtet werden. Dann braucht man nur eine Skala mit Nullpunkt im Ablaufpunkt und die Steigung der Gegenseite ist dann auch unerheblich. Zur Variation von i kann ein und derselbe Aufbau einfach gekippt werden. Nachteilig ist allerdings, daß bei jedem Umkehren der Losbrechwiderstand der Achslager überwunden werden muß, den wir eigentlich nicht in die Messung einbeziehen wollten.

dL = dh/i soll durch sinnvolle Wahl in eine praktische Größenordnung gebracht werden. Wir nehmen an, der Umkehrpunkt kann nur auf 0.5 cm genau erfaßt werden. Daher wollen wir dL = 10 cm, um eine relative Genauigkeit von 1/20 = 5% zu erreichen. Die numerische Untersuchung ergibt für w = 40 Promille und h = 5 cm Höhe etwa i = 108 Promille.

Bauvorschlag

Meßstrecke 1 Meter lang, Enden h = 5 cm hoch, Gefälle 100 Promille = 10%. Bei Schlechtläufern mit w = 40 Promille sieht man gerade noch den 2. Umkehrpunkt, bei Gutläufern bis zu etwa 10 Umkehrpunkte. Skala zur direkten Ablesung des Rollwiderstands am 1. Umkehrpunkt anbringen (Umrechnung dL in w).

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