Anzahl der Rbf in einem Netz

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Geschichtlicher Hintergrund

Als die ersten Eisenbahnnetze entstanden, rangierte man an jedem Knotenpunkt, wo Übergang zu anderen Strecken möglich war. Die Reisegeschwindigkeit der handgebremsten Güterzüge war sehr klein. Das Rangieren ging auch nicht besonders schnell, aber die Fahrzeit auf der Strecke war noch groß gegenüber der Aufenthaltszeit der Wagen beim Umrangieren auf einen anderen Zug. Wo verschiedene Privatbahnen aneinander stießen, war mit dem Rangieren auch eine Übergabe der Wagen zwischen den Gesellschaften verbunden. Jede Bahn hatte ihren eigenen Bahnhof, verbunden waren sie durch besondere Gleise oder Strecken. Dieses System hat sich in den USA noch sehr lange erhalten. In Europa wurde es durch die früh einsetzende Verstaatlichung der Bahnen hinfällig.

Die großen Staatsbahnnetze wurden nun nach einheitlichen Vorschriften betrieben und als Ganzes verwaltet. Um 1910 fuhren Frachtenzüge handgebremst mit 30 km/h. Die Druckluftbremse erlaubte schnelleres Fahren, 1940 waren es etwa 50 km/h. Die Wagenbauarten wurden verbessert und leistungsstärkere Loks beschafft, so daß man 1970 mit 65 km/h fuhr. Heute, etwa 2000, fahren Frachtenzüge 100 km/h. Wir beobachten also etwa eine Verdreifachung der Reisegeschwindigkeit.

Die Rangiervorgänge konnten nicht in diesem Maße beschleunigt werden. Die Mindestübergangszeit eines Rangierbahnhofs - das ist die Zeitspanne von der Ankunft des Wagen mit einem Zug im Einfahrgleis bis zur Abfahrt, wenn der Wagen nicht in der Richtungsgruppe warten muß - liegt in einer Größenordnung von etwa 4 Stunden. Die Einführung der Druckluftbremse war hier sogar nachteilig, weil sie erheblichen Zeitaufwand zum Lösen, Entschlauchen, Schlauchen und zur Bremsprobe bedingt. Gewisse Beschleunigungen konnten durch technische Neuerungen wie Gleisbremsen erreicht werden, doch diese zielen mehr auf die Steigerung des Durchsatzes als auf Beschleunigung des Wagendurchlaufs.

Die Reisedauer eines Güterwagen setzt sich zusammen aus Fahrzeiten und Übergangszeiten der durchlaufenen Rangierbahnhöfe. Die Übergangszeit setzt sich zusammen aus der Mindestübergangszeit, die nicht mehr vermindert werden kann, und der Sammelzeit, bis ein Zug auf eine fahrwürdige Wagenzahl angefüllt ist. Je mehr Wagen nun für eine Richtung aufkommen, desto schneller wird ein Zug voll, und desto geringer ist die Sammelzeit. Man mußte also anstreben, große Rangierbahnhöfe mit hohem Wagendurchsatz anzulegen, um die Sammelzeit erträglich zu halten. Eine Verminderung der Anzahl der an einem Wagenlauf beteiligten Rangierbahnhöfe überhaupt bringt erheblichen Gewinn, weil Mindestübergangszeiten wegfallen. Wenn die Züge bzw. Wagen zum Erreichen dieser wenigen großen Rbf Umwege machen müssen, kostet das nicht mehr viel extra Zeit und wird in Kauf genommen.

Man kann zwei Grenzfälle unterscheiden:

  • Fahrzeit groß gegen Umstellzeiten: Kürzesten Laufweg anstreben, zahlreiche Umstellungen in Kauf nehmen
  • Fahrzeit klein gegen Umstellzeiten: Weg mit den wenigsten Umstellungen anstreben, Umwege in Kauf nehmen.

Theorie für ein einfaches Eisenbahnnetz

Wir stellen uns ein Eisenbahnnetz mit N Stationen 1, 2, ..., N vor, von denen jede Station einen Wagen an jede andere Station pro Tag schickt. Sämtliche (nichtdiagonalen) Einträge der Verkehrsflußmatrix sind 1. Wäre diese Zahlen nicht 1, sondern W, so müßte man alle folgenden Wagenzahlen mit W multiplizieren.

Der tägliche Wagenausgang einer Station ist N-1. Insgeamt werden N*(N-1) Wagen befördert.

Kein Rangierbahnhof

Würde man nicht rangieren, so bräuchte man eben so viele Züge. Das ist nicht praktikabel.

  • Leistung des Gesamtnetzes W = N*(N-1) = näherungsweise N^2 Wagen
  • N*(N-1) Direktzüge mit 1 Wagen
  • Gesamtzahl der Züge Z = N*(N-1) = näherungsweise N^2
  • Kein Wagen wird rangiert
  • Der Rbf braucht 0 Richtungsgleise
  • Reisezeit = T_Sammel + T_Rang + T_Verteil = 2*T_Zug + T_Rang

Transportkette von x nach y

[Station(x)] ---Direktzug---> [Station(y)]


Ein Rangierbahnhof

Man sammelt die in 1, 2, ..., N aufkommenden Wagen auf einem (zentralen) Rangierbahnhof A. Dazu sind N Sammlerzüge notwendig, die aus jeweils N-1 Wagen bestehen. Alle diese N*(N-1) Wagen sind auf N Verteilerzüge umzurangieren; es laufen also N*(N-1) Wagen über den Ablaufberg. Die Verteilerzüge haben auch (N-1) Wagen.

  • Leistung des Gesamtnetzes W = N*(N-1) = näherungsweise N^2 Wagen
  • Leistung des Rbf B = N*(N-1) = näherungsweise N^2
  • N Sammlerzüge mit je N-1 Wagen
  • N Verteilerzüge mit je N-1 Wagen
  • Gesamtzahl der Züge Z = 2*N
  • Jeder Wagen wird einmal rangiert
  • Man braucht keinen Rangierbahnhof
  • Reisezeit = T_Zug

Transportkette von x nach y

[Station(x)] ---Sammler--> [Rbf] ---Verteiler---> [Station(y)]

Mehrere Rangierbahnhöfe

Wir teilen die Menge 1, 2, ..., N der Stationen nun in K gleich große Bezirke auf auf, für die jeweils ein Rangierbahnhof R1, R2, ..., RK zuständig ist. Jeder Rbf zerlegt N/K Sammlerzüge von je N-1 Wagen, zusammen also N*(N-1)/K Wagen.

Diese Wagen müssen nun mit Fernzügen zu den K-1 anderen Rbf überstellt werden, beziehungsweise verbleiben auf einem Gleis des eigenen Rbf, wenn sie für Bahnhöfe des eigenen Bereichs bestimmt sind. Die Stärke der Fernzüge ist also N*(N-1)/[K(*K-1)]. Es sind K*(K-1) Fernzüge erforderlich, um K Rbf direkt zu verbinden.

Schließlich müssen die Fernzüge zu Verteilzügen umgebildet werden. Jeder Rbf muß K-1 eingehende Züge auflösen sowie das Sammelgleis für die Wagen des eigenen Bezirks, also K Züge von Fernzugstärke, zusammen N*(N-1)/K Wagen. Damit werden N/K Verteilzüge von jeweils N-1 Wagen Stärke gebildet.

  • Leistung des Gesamtnetzes W = N*(N-1) = näherungsweise N^2 Wagen
  • Leistung jedes Rbf B = 2*N*(N-1)/K = näherungsweise 2*N^2/K
  • N Sammlerzüge mit je N-1 Wagen
  • N Verteilerzüge mit je N-1 Wagen
  • K*(K-1) Fernzüge mit je N*(N-1)/[K(*K-1)] = näherungsweise N^2/K^2 Wagen
  • Gesamtzahl der Züge Z = 2*N + K*(K-1) = näherungsweise 2*N + K^2
  • Jeder Wagen wird zweimal rangiert
  • Der Rbf braucht K Richtungsgleise für Fernzüge (incl. Sammelgleis) und N/K Richtungsgleise für Verteiler, also K + N/K Gleise. Werden Sammel- und Verteilgeschäft zeitlich getrennt, reichen max(K, N/K) Gleise.
  • Reisezeit = T_Sammel + T_Rang + T_Fern_ + T_Rang + T_Verteil = 3*T_Zug + 2*T_Rang

Transportkette von x nach y

[Station(x)] ---Sammler--> [Rbf(RA)] ---Fernzug---> [Rbf(RB)] ---Verteiler---> [Station(y)]

Konsequenzen der Beispielrechnung

Balsine