Gegenbogen

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Aufgestellt von Martin Balser am 15. Januar 2007, ins Frokelwiki geladen am 27. September 2008

Geometrische Grundlagen

Pfeilhöhenformel

Man markiere zwei Punkte A und B auf einem Kreisbogen des Radius R. Die Verbindungsstrecke AB heißt Sehne; sie habe die Länge L. Der senkrecht zur Sehne gemessene Abstand vom Sehnenmittelpunkt zum Kreisbogen heißt Pfeilhöhe H. Wenn R viel größer als L ist, gilt näherungsweise die einfache Pfeilhöhenformel, siehe auch Wikipedia:

H = L^2/(8R)

Sie hat bei der Eisenbahn vielfältige Anwendungsmöglichkeiten. Bei dreiachsigen Wagen berechnet man damit die nötige Seitenverschieblichkeit der Mittelachse direkt aus Endachsstand und Mindestgleisradius. Für die Lichtraumberechnung in Gleisbögen kann man den Überhang der Fahrzeugmitte zur Bogeninnenseite und den Ausschlag der Fahrzeugecken zur Bogenaußenseite berechnen. Im Gleisbau wird oft die nach R aufgelöste Form

R = L^2/(8H)

verwendet, um aus einer Pfeilhöhenmessung den Radius eines Gleisbogens zu ermitteln. Dazu spannt man zwischen zwei Punkten an der Innenflanke der bogenäußeren Schiene eine Schnur der Länge L und mißt in Schnurmitte die Pfeilhöhe H mit einem Meterstab. Die Schnurmitte markiert man mit einem Knoten. Mit Schnur, Meterstab und zwei Schraubzwingen zum Befestigen der Schnurenden an der Schiene kann man ohne fremde Hilfe Radien vermessen. Wenn man L = 28,28 m wählt, kann man die Formel zur Zahlengleichung R[m] = 100/H[m] zusammenfassen; zum Beispiel entsprechen H = 0,33 m Pfeilhöhe einem Radius R = 300 m.

Querverschiebung der Kupplungen

Unter der Querverschiebung verstehen wir den vertikalen Abstand V der Fahrzeugmittellinie von der Gleisachse in Pufferebene. Mit der Pfeilhöhenformel ergibt er sich aus der Länge über Puffer (LüP) L und dem Achs- bzw. Drehzapfenabstand D zu

V = (L^2-D^2)/(8R).

Der Querverschiebung ist umgekehrt proportional zum Radius, d. h. bei Halbierung des Radius verdoppelt er sich.

Wenn man das Verhältnis K = D/L fest wählt, kann man D eliminieren:

V = L^2*(1-K^2)/(8R).

Die Eisenbahn-Bau- und Betriebs-Ordnung (EBO) von 1982 schreibt für das Verhältnis K einen Mindestwert von 0,45 vor. Mit größerem K verkleinert sich die Querverschiebung; die Achsen bzw. Drehgestelle wandern zum Wagenende hin, die Überhänge werden kleiner. Fahrzeuge mit minimalem Kmin=0,45 haben maximale Querverschiebungen, die quadratisch mit der Wagenlänge wachsen. Die Faustformel VmaxL^2/(10R) gibt das wieder.

Bei älteren zweiachsigen Güterwagenbauarten wurden kleine Achsstände gewählt, um möglichst kurze und damit billige Wagendrehscheiben und Gleiswaagen einbauen bzw. weiter benutzen zu können. Die EBO von 1982 schreibt für Neubauten Dmin = 4500 mm Achsstand vor, erlaubt aber den Weiterbetrieb von Wagen ab Dmin = 3000 mm Achsstand, zum Beispiel O 02. Das Verhältnis K = D/L erreicht auch bei den Wagen mit kürzestem Achsstand den vorgeschriebenen Mindestwert. Später ging das Streben zu möglichst großen Achsständen, um noch unterkritische Fahrwerke für hohe Geschwindigkeiten zu erhalten; ein Extrembeispiel ist der Gms 35 mit K = 0,7. Drehgestellwagen haben, um überhaupt noch akzeptable Querverschiebungen zu erhalten, noch größere K-Werte.

Die EBO von 1982 schreibt für Pufferteller einen Mindestdurchmesser von 370 mm vor und fordert, daß die Wagen einen Gleisbogen von 150 m Radius und 1435 mm Spurweite einwandfrei durchfahren müssen; die Pufferteller dürfen sich dabei nicht verhaken. Für einen „Normalwagen“ mit 10 m LüP und 4,5 m Achsstand ergibt sich bei 150 m Bogenradius eine Querverschiebung von 66,5 mm. Bei Gegenbögen (S-Kurven) ohne Zwischengerade, wo zwei gegenläufige Radien R1 und R2 aneinander stoßen, wird an der Übergangsstelle die Summe V1+V2 der Querverschiebungen zweier Wagen 1 und 2 wirksam. Die Gefahr von Überpufferungen ist dabei besonders groß. Beim Vorbild wird deshalb an solchen Stellen beim Gleisplanentwurf geprüft, ob die sogenannte geometrische Bedingung

1000/R1 + 1000/R2 < 10,6

eingehalten ist. Andernfalls müssen die Radien vergrößert werden oder es muß eine Zwischengerade eingeschaltet werden. Die Bedingung erlaubt gerade noch das Aneinanderstoßen zweier gegenläufiger Weichenbögen 190 m. Davon kann aber nur in Rangierbereichen Gebrauch gemacht werden, denn für Zugfahrten mit mindestens 40 km/h ergeben sich zu große Querrucke.

Die geometrische Bedingung kann so aufgefaßt werden, daß zwei Normalfahrzeuge mit 10 m LüP und 4,5 m Achsstand beim Befahren des Gegenbogens eine größte gegenseitige Querverschiebung der Puffer von 10,6 cm zeigen. Bei längeren Wagen müssen größere Pufferteller vorgesehen werden, um die Querverschiebungen gefahrlos zu verarbeiten.

Beim einfachen Bogeneinlauf wird nur die Querverschiebung eines Fahrzeugs wirksam. An eine Gerade anschließende Radien können daher enger gewählt werden als bei Gegenbögen.

Im Bogen selbst ist die Querverschiebung durch den Betrag der Differenz V1-V2 gegeben. Da die Werte von L^2-D^2 nur innerhalb gewisser Grenzen schwanken können, erhält man im Bogen noch erträgliche Querverschiebungen zwischen unterschiedlichen Wagen, auch wenn diese am abrupten Übergang von der Geraden in den engen Bogen überpuffern würden. Eine solche Gleisanlage braucht zwingend Übergangsbögen nicht aus fahrdynamischen, sondern schon aus geometrischen Gründen.

Knickwinkel und Kupplungsauszug

Der Knickwinkel zwischen zwei Fahrzeugen im Bogen kann man leicht berechnen, wenn man sich die Mittelsenkrechten auf den Fahrzeugmittellinien vorstellt. Diese schneiden sich im Kreismittelpunkt. Außerdem stelle man sich eine Linie vom Kreismittelpunkt vor, die zwischen den Puffern hindurchgeht. Man betrachte den Sektor, der durch diese Linie, eine der Mittelsenkrechten und die Gleisachse des Bogengleises gebildet wird. Die Schenkel haben die Länge R, das Bogensegment ist durch den im Bogenmaß genommenen Winkel ß des Sektors zu ßR bestimmt und entspricht etwa der halben LüP L/2. Wir erhalten somit ß = L/(2R), oder nach Umrechnung auf Winkelgrade

ß = L/(2pR)*180°.

Dies ist der Anteil eines Wagens am Knickwinkel; der Kickwinkel zwischen zwei Wagen 1 und 2 ist ß1 + ß2, was proportional zur Summe der LüP L1 + L2 ist. Entsprechend dem Kickwinkel wird beim Vorbild die Kupplungskette der Schraubenkupplung ausgezogen. Dazu betrachtet man ein Kreissgement, dessen Winkel durch den fahrzeugbezogenen Kickwinkel ß gegeben ist und dessen Schenkel durch den halben Pufferabstand P/2 bestimmt ist. Die Länge des Bogensegments ist etwa der Kupplungsauszug S und ergibt sich zu

S = LP/(4R).

Kupplungen an Modellbahnfahrzeugen

Messungen

An einem Paar von Bügelkupplungen Fleischmann #6511 wurde ein Längsspiel von 1,5 mm und ein Querspiel von 3,4 mm gemessen.

Bei starrem Einbau der Prallplatte in einer Linie mit den Puffertellern entfallen somit auf jeden Wagen ein maximal erlaubter Kupplungsauszug von 0,75 mm und ein maximales Querspiel von 1,7 mm. Darauf ist die untenstehende Tabelle aufgebaut.

Gleisgeometrie im FREMO

Untersuchung einiger Wagenbauarten

Wagen    | Vorbild |    R =  600 mm  |    R = 1000 mm  |    R = 1724 mm 
Bauart   |   LüP   |  S mm  |  V mm  |  S mm  |  V mm  |  S mm  |  V mm
---------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+-------- 
O 02     |  7,3 m  |  0,70  |  0,60  |  0,42  |  0,70  |  0,24  |  0,41
Gms 35   | 10,0 m  |  0,96  |  1,40  |  0,58  |  0,84  |  0,34  |  0,49
Rlmms 58 | 14,0 m  |  1,34  | (3,60) |  0,81  | (2,16) |  0,47  |  1,25
SSlma 53 | 20,0 m  |  1,93  | (6,36) |  1,16  | (3,81) |  0,67  | (2,21)
B4nb-59  | 26,4 m  | (2,54) | (9,25) |  1,53  | (5,55) |  0,89  | (3,22)

Eingeklammerte Werte = Überschreitung der Grenzen Smax = 2,25 mm (Fleischmann-Bügelkupplung, 1,5 mm vor Puffertellerebene montiert) und Vmax = 1,7 mm

Empfehlungen

Zusammenfassung

Links

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